PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

SPLDV biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalah sehari-hari yang membutuhkan penggunaan Matematika, seperti menentukan harga suatu barang, mencari keuntungan penjualan, sampai menentukan ukuran suatu benda. 

Persamaan linear dua variabel (PLDV) adalah persamaan yang memiliki dua variabel dan pangkat tertinggi dari setiap variabel itu sama dengan satu.

Bentuk Umum: ax + by + c = 0

dengan a dan b ≠ 0, serta a, b, c ∈ R

Contoh:

Tentukan penyelesaian dari persamaan x + y = 4 untuk x ∈ {0, 1, 2, 3, 4}

- Jika x = 0, maka:

0 + y = 4

      y = 4

(x, y) = (0, 4)

- Jika x = 1, maka:

1 + y = 4

y = 4 - 1 = 3

(x, y) = (1, 3)

- Jika x = 2, maka:

2 + y = 4

y = 4 - 2 = 2

(x, y) = (2, 2)

- Jika x = 3, maka:

3 + y = 4

y = 4 - 3 = 1

(x, y) = (3, 1)

- Jika x = 4, maka:

4 + y = 4

y = 0

(x, y)= (4, 0)

Jadi, HP = {(0, 4), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 0)}

Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) merupakan gabungan dari dua atau lebih PLDV yang memiliki hubungan satu sama lain dan memiliki satu buah penyelesaian.

Bentuk umum: 

| ax + by = c |

| px + qy = r  |

Metode penyelesaian SPLDV:

- Metode grafik

Pada metode grafik, kita akan menggambar grafik dari dua buah persamaan yang telah kita buat pada langkah sebelumnya. Cara yang paling mudah untuk menggambar grafik adalah dengan mencari titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y.

Metode ini biasanya berguna jika nilai koefisien dan nilai konstanta dari persamaannya bukan merupakan bilangan bulat, sehingga lebih baik digambar untuk memudahkan mencari nilai x dan y nya.

- Metode eliminasi: metode yang dilakukan dengan cara menghilangkan salah satu variabel untuk mencari nilai variabel yang lain. untuk koefisien yang dihilangkan harus sama atau dibuat sama dengan cara dikali

Contoh:

Tentukan penyelesaian dari 3x + 2y = 1 dan x + y = 2 dengan menggunakan metode eliminasi.

Eliminasi variabel y

3x + 2y = 1 |×1|  3x + 2y = 1

x + y = 2     |×2|   2x + 2y = 4

                            ____________ -

                                       x = -3

Eliminasi variabel x

3x + 2y = 1 |×1|  3x + 2y = 1

x + y = 2     |×3|   3x + 3y = 6

                            ____________ -

                                       -y = -5

                                        y = 5

Jadi, HP = {(-3, 5)}

- Metode Substitusi: metode yang dilakukan dengan cara menyatakan salah variabel ke variabel yang lain. Kemudian nilai variabel tersebut menggantikan variabel yang sama dalam persamaan yang lain.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari 2x + 5y = 4 dan x + 2y = 4 dengan menggunakan metode substitusi. 

2x + 5y = 4    ... (1)

x + 2y = 4      ... (2)

Persamaan (2) dapat dinyatakan dalam bentuk:

x + 2y = 4

x = 4 - 2y   ... (3)

Substitusi persamaan (3) ke persamaan (1)

2x + 5y = 4

2(4 - 2y) + 5y = 4

8 - 4y + 5y = 4

y = 4 - 8

   = -5

Substitusi y = -4 pada persamaan (3)

x = 4 - 2(-4)

   = 4 + 8

   = 12

Jadi, HP = {(12, -4)}

- Metode gabungan eliminasi dan substitusi. Pada umumnya, metode ini menggunakan metode eliminasi untuk menentukan nilai salah satu variabel. Kemudian nilai variabel tersebut disubstitusikan ke dalam salah satu persamaan sehingga diperoleh nilai variabel yang lain.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari 2x + y = 3 dan x + 3y = 4 dengan menggunakan metode gabungan eliminasi dan substitusi. 

Eliminasi variabel x

2x + y = 3 |×1|  2x + y = 3

x + 3y = 4 |×2|  2x + 6y = 8

                         ____________ -

                                 -5y = -5

                                    y = 1

Substitusi y = 1 pada persamaan 2x + y = 3

2x + 1 = 3

2x = 3 - 1

2x = 2

x = 1

Jadi, HP = {(1, 1)}

SPLDV ini bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang ada di kehidupan nyata. 

Langkah-langkah menyelesaikan masalah dengan menggunakan SPLDV:

- Mengganti setiap besaran yang ada di masalah tersebut dengan variabel

- Membuat model Matematika dari masalah tersebut 

- Mencari solusi dari model permasalahan tersebut dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV

Contoh:

Sebuah agen penjualan tiket kereta api mampu menjual 200 tiket kereta api untuk kelas bisnis dan eksekutif dalam satu hari. harga tiap lembar tiket kelas bisnis adalah Rp120.000,00, sedangkan kelas eksekutif adalah Rp200.000,00. Jumlah uang hasil penjualan kedua jenis tiket tersebut sebesar Rp30.000.000,00. Tentukan banyak tiket yang terjual untuk masing-masing kelas.

misal, x = harga tiket kelas bisnis

           y = harga tiket kelas eksekutif

Diperoleh persamaan:

x + y = 200   ... (1)

120.000x + 200.000y = 30.000.000

3x + 5y = 750   ...(2)

x + y = 200      |×3|  3x + 3y = 600

3x + 5y = 750 |×1|  3x + 5y = 750

                                 _____________ -

                                         -2y = -150

                                            y = 75

Substitusi y = 75 pada persamaan (1)

x + 75 = 200

x = 200 - 75

   = 125

Jadi, banyak tiket kelas bisnis yang terjual adalah 125 lembar, sedangkan banyak tiket kelas eksekutif yang terjual adalah 75 lembar.